就在格里高利步步紧逼时,艾拉的运算初步得到了结果。
“大师……我没办法按你的要求画出图形。要让面积变为两倍,也就是说新的正方形边长的乘积为二。由于正方形边长相等,也就是说这个数自身和自身的乘积为二。我本想计算一下这是一个什么样的数字……但我算不出来。”
戈特弗里德正为格里高利接连不断的问题发难,艾拉的这句话正好给了他一个岔开话题的机会。他忙不迭地说到:“你是怎么运算的?”
“我参照了你画在门口的那个图形。你利用两个多边形夹逼的方法来计算圆的面积,我也就利用了同样的方法,首先得出这个数介于三分之四和二分之三之间,然后继续寻找二者之间的分数……但不论我怎么寻找,我都没法找出这个数字是什么。”
艾拉的话也吸引了格里高利的注意。他抛下对亚伯拉罕古教会的追究,在一旁说道:“会不会只是你计算的不够深入?”
“不,为此我还特地证明了一下,然后发现……这个数根本不可能存在。”
戈特弗里德的眼中闪过了一道光:“哦?说说你的证明过程。”
“首先,第一个公理,任何一个整数乘于二,都将变为偶数,对吧?”
格里高利在一旁点了点头:“没错,这是不言而明的公理。”
“其次,第二个公理,偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数,也没错吧?”
“不言而喻。”
“那么,我假设这一个数最简单分数表现形式为a/b,它的平方为2,也就是说a×a/b×b=2,换句话说,2b×b=a×a。根据第一个公理,a×a将是一个偶数,再根据第二个公理,a也是一个偶数。”
“完全正确。”
“既然a是一个偶数,那么a必定可以除于2,得到另一个整数,对么?”
“当然。”
“我们把这个整数用s表示。那么a就等于2s。代入之前那个公式,就变成了2b×b=2s×2s=4s×s,化简之后就是b×b=2s×s。根据第一个公理,b×b将是一个偶数,再根据第二个公理,b是一个偶数。”
“哦,a和b都为偶数,真是神奇的发现。可这又能说明什么呢?”
“不要忘了,我们开头设定着a/b是这个数的最简分数表示形式!如果a和b都是偶数,那么他们必能同除于二,那就不再是最简!可即便我们设定了新的数c、d,让他们分别为a、b的二分之一,然后把这个数表示为c/d,也能通过上述的方法再次证明c和d都是偶数!如此划分下去,这一个数将永远不可能有最简的分数表示形式!”
艾拉的话就像是往一潭平静的湖水中投入了一块巨石,让格里高利脸上的每一块肌肉都开始抽动起来。他试着重复了一遍艾拉的证明过程,没有发现任何问题。可这结论却让他无法接受:“你是说,这个数的分子和分母可以无限次地除于二,且保持着自身为整数?这个无限的数……难道是神明的投影么?”
“所以我无法画出这个图形……面积为二的正方形,它的边长……很奇怪。”
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“不要再尝试着画了!”格里高利突然暴躁地喊了起来,“奇怪是正常的,因为我们无法理解无限的神明!就让它存在于那里吧,永远不要去丈量它!”
戈特弗里德在一旁听着两人的争论,笑了出来。
“你们知道毕达哥拉斯定理么?”他突然问道。
艾拉和格里高利一起把注意力移到了戈特弗里德身上:“你是说,直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方之和,对么?这是毕达哥拉斯最为著名的定理。为什么要提这个?”
“女孩啊……你在那个边长为一的正方形上画一条对角线。这个对角线的长度为多少?”
艾拉想也没想就画了下去,可线才画到一半,她就停了下来,颤声道:“这根线,它的平方为二?”
“好了,现在,用这根线作为新的正方形的边长,问题解决了么?”
“等一下!停!”艾拉打断了戈特弗里德的话,“……这应该是一个无限的数字,可为什么现在变成了一条有限的、可以画出来的线段?”
没等戈特弗里德说话,艾拉就用颤抖的手补完了没有画完的那条线。然后,那根线就安安静静地躺在地上,从一个点出发,到另一个点为止,完全没有体现出一丁点的神奇。
“你……丈量了无限?”格里高利先是难以置信地望着戈特弗里德,然后拼命地摇起头来,“不,这不可能!这条线段一定是出自于恶魔之手,是来自恶魔的恶作剧!”
“喂,你在胡说些么!”艾拉忍不住说道,“虽然确实不可思议,但这是我亲手画出来的线条哎,怎么就成了出自恶魔之手了!”
“他说的没错,这个数就是来自恶魔。”戈特弗里德在一旁说道,“你不是想知道毕达哥拉斯学派的事情么?他们认为万物皆数,可是他们用尽了毕生所学,都没能用任何数来表示这一条线段!明明这条线段就在眼前,却没办法用数字的形式将它表现出来,这让‘万物皆数’的理念显得可笑至极。”
“然后呢……?”
“他们解决不了这个数,就解决了发现这个数的人。他的名字是西伯索斯,被他毕达哥拉斯学派的同学当了恶魔的化身,被当场举起来投入了大海之中!可他们无法将这个数一并投入大海。从那时起,毕达哥拉斯学派的魔法就没落了。虽然我确实是毕达哥拉斯学派的成员,可如今毕达哥拉斯学派只研究数学,而不再和魔法有任何的瓜葛。”
“……那么,最后毕达哥拉斯学派是怎样处理这一个数的?”
“他们抛弃了‘万物皆数的理念’,将几何图形同数割裂了开来。数是数,几何是几何。这样,这个线段的长度问题就被回避了。”
艾拉一屁股坐到了地上。戈特弗里德刚刚的话意味着她无法学到毕达哥拉斯学派的魔法了。
格里高利倒是松了一口气。
“那就对了。即便能用图形、符号来象征,也不能用具体的数字来丈量。这,才是无限。”